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Conversion d'un nombre binaire répétitif en nombre décimal

Comment puis-je représenter 0,1011111 .... ou 0,10 (1) sous forme de fraction a / b? Avec a et b étant des entiers.

J'ai essayé cette méthode

x = 0,10 (1) x = 10. (1) / 4

Maintenant y = 10. (1)

2y = 101. (1)

ce qui implique 2y - y = 91 y = 91

x = 91/4 Mais a = 91 & b = 4 est faux.

Comment puis-je résoudre ce problème?

binary floating-point

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3 Réponses :

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Vous devez observer que les nombres sont toujours en binaire. Ainsi en décimal, vous obtenez que la partie entière de y est 2 et de 2y est 5 , de sorte que dans la différence y = 3 .

Notez qu'en binaire 0.1 (1) = 1 , tout comme en décimal 0.9 (9) = 1 . Ainsi de manière alternative, x est exactement 0.11 binaire, soit 1/2 + 1/4 = 3/4 .

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Vous pouvez le faire comme suit:

x = (0.1011111) ₂

Représenter ci-dessus le terme binaire en décimal nous donne:

x = 1/2 ¹ + 0/2 ² + 1/2 ³ + 1/2 ^{4 + ...)

x = 1/2 + 1/2 ² * (1/2 ¹ + 1/2² + 1/2 ³ + ...)

Si nous ignorons le terme marqué en gras dans l'équation ci-dessus, le terme entre parenthèses devient x , nous pouvons donc dire que le terme entre parenthèses est égal à (x + 1/2 < sup> 2})

x = 1/2 + 1/2 ² * (x + 1/2 ²)
x = 1/2 + x / 4 + 1/16

Résoudre l'équation ci-dessus

3x / 4 = 9/16
x = 3/4

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Erreur mineure: ce 1/8 devrait être 1/16 . De cette façon, lorsque vous résolvez, vous obtiendrez x = 3/4 , ce qui correspond à la réponse de @ LutzL.

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Voici une généralisation de ce problème à la situation fréquente de répétition de motifs.

Supposons que x = 0,001100110011 ..., où le motif 0011 est répété à l'infini.

Soit a le motif (0011 pour x) et k sa longueur (c'est-à-dire 4 pour x).

x = a × 2 ^ -k + a × 2 ^ -2k + ...
= a × 2 ^ -k × ∑ _{_{i = 0}} ^{^∞} (2 ^ -k) ^ i < br> = a × 2 ^ -k × lim _{n → ∞} (1- (2 ^ -k) ^ n) / (1-2 ^ -k)
car x est la somme d'une série géométrique avec un rapport 2 ^ k.

Quand n va à ∞, (2 ^ -k) ^ n va à zéro et nous avons
x = a × 2 ^ -k / (1-2 ^ -k) = a / (2 ^ k-1)

Si x = 0.11111 ..., a = 1, k = 1 et x = 1 / (2-1) = 1 et on obtient le résultat déjà présenté (de manière beaucoup plus simple!) par LutzL qui répond à la question d'origine.

Mais nous pouvons résoudre des problèmes plus complexes avec n'importe quel motif répétitif.
Par exemple, si x = 0,001100110011 ..., nous avons a = 0011 = 3 et k = 4.
D'où x = 3 / (2 ^ -4-1) = 1/5 = 0,2

La généralisation à la situation où le motif répétitif est précédé d'une séquence non répétitive est immédiate.

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