J'ai un système d'équations linéaires qui constituent une matrice NXM (non carrée) que j'ai besoin de résoudre - ou au moins tentative < / EM> Pour résoudre afin de montrer qu'il n'y a pas de solution au système. (plus probable que pas, il n'y aura pas de solution)
Si je comprends bien, si ma matrice n'est pas carrée (sur ou sous-déterminée), alors aucune Il convient de mentionner que les coefficients de mes inconnus peuvent être zéro, donc dans certains cas rares, il serait possible d'avoir une colonne zéro ou une rangée nulle.
4 Réponses :
OK, d'abord désactivé: un système d'équations non carré peut avoir une solution exacte a clairement une solution (en fait, il a un 1- Famille dimensionnelle de solutions: x = z = 1). Même si le système est overdéterminé au lieu de sous-fondé il peut toujours avoir une solution: (x = y = 1). Vous voudrez peut-être commencer par regarder les méthodes de solution les moins carrés , qui trouvent la solution exacte si l'on existe et "la meilleure" solution approximative (dans un sens) si on ne le fait pas.
Si votre matrice est ou non carré n'est pas ce qui détermine l'espace de la solution. C'est le rang de la matrice par rapport au nombre de colonnes qui détermine cela (voir The Rank-Nullity Theorem ). En général, vous pouvez avoir zéro, un ou un nombre infini de solutions à un système linéaire d'équations, en fonction de sa relation de rang et de nullité.
Pour répondre à votre question, vous pouvez également utiliser une élimination gaussienne pour trouver le rang de la matrice et, si cela indique que des solutions existent, trouvez une solution particulière x0 et la nulls Nullspace null (A) de la matrice. Ensuite, vous pouvez décrire toutes vos solutions comme x = x0 + xn, où XN représente tout élément de NULL (a). Par exemple, si une matrice est pleine de classement, son espace NullSpace sera vide et le système linéaire aura au plus une solution. Si son rang est également égal au nombre de lignes, vous avez une solution unique. Si l'espace Nulls est de dimension, alors votre solution sera une ligne qui traverse X0, tout point de cette ligne satisfaisant les équations linéaires.
Comme il s'agit d'un site informatique, il convient probablement également de souligner que vous devriez utiliser une pivotement intégral dans votre élimination gaussienne pour rendre votre méthode résistante à une erreur complète.
La recommandation des moindres carrés est une très bonne.
Je vais ajouter que vous pouvez essayer une décomposition de valeur singulière (SVD) qui vous donnera la meilleure réponse possible et fournir des informations sur l'espace NULL gratuitement.
prise Si nous observons que nous ne pouvons pas trouver une solution qui signifie réellement, qu'il existe aucun moyen de trouver B de déplacer l'espace de colonne renversé par un . (Comme X ne prend qu'une combinaison des colonnes).
Nous pouvons cependant demander le point dans l'espace renversé par A qui est le plus proche de b. Comment pouvons-nous trouver un tel point? Marcher dans un avion Le plus proche peut arriver à un point situé à l'extérieur , est de marcher jusqu'à ce que vous soyez juste en dessous. Géométriquement parlant, c'est lorsque notre axe de la vue est perpendiculaire à l'avion.
Maintenant c'est quelque chose que nous pouvons avoir une formulation mathématique de. Un vecteur perpendiculaire Pour notre équation, appliquez la transformation en les deux côtés : AX = B , avec une colonnes M et n lignes. Nous ne sommes pas garantis de disposer d'une seule et unique solution, ce qui est dans de nombreux cas parce que nous avons a.t b . Mais nous pouvons prendre toute la matrice a.t b .
A.T AX = A.T B .
La dernière étape consiste à résoudre pour x en prenant l'inverse A.T A :
x = (A.t a) ^ - 1 * a.t b
"Comme je le comprends, si ma matrice n'est pas carrée (sur ou sous-déterminée), aucune solution exacte ne peut être trouvée - suis-je correcte en pensant cela?" Considérer 2x + 3y = 0; 4x + 6y = 0; 6x + 9Y = 0.
Je vote pour fermer cette question de déchargement car il s'agit d'une question mathématique qui appartient sur un site SE différent.
J'estime un peu que cette question devrait être fermée comme étant hors sujet.