J'ai rencontré le problème intéressant suivant tout en préparant un CONCOURS.
Vous avez un triangle avec des côtés de longueur donc, si sinon, nous savons que le cercle a la plus grande surface de la surface périmétrique, de sorte que si Donc, le cas restant est Des idées serait géniale!
a, b, c et une corde de longueur l . Vous devez trouver
les surfacées enfermées par la corde comportant la surface maximale et doivent être entièrement à l'intérieur du triangle.
l = A + B + C , c'est la zone du triangle.
l est inférieur ou égal au périmètre du cercle inscrit du triangle, puis la zone sera la zone du cercle de périmètre l.
alfa alfa est le périmètre du cercle inscrit.
edit : J'aimerais savoir si je devrais me concentrer sur une sorte d'algorithme pour résoudre ce problème
ou essayer de comprendre une formule mathématique. Le concours contient une manière d'une manière ou d'une autre une combinaison des deux. Les bords peuvent être aussi longs que 100 et la précision de A, B, C, L est de 4 chiffres après le point décimal.
4 Réponses :
Étant donné qu'un cercle a la plus grande zone / périmètre, commencez par le Circle inscrit . Si L est inférieur à cette circonférence, puis rétrécissez de manière appropriée. Si L est plus long, la croissance des 3 arcs maximise DA / DL. Je ne sais pas s'il y a une forme fermée, mais le plus grand arc sera dans la 3ème du triangle avec les côtés qui s'approchent le plus parallèle.
Il devrait être trivial pour résoudre ce problème algorithmique. Avec 4 décimales de précision, incrément de 0,0001 vérifie chaque arc à voir lequel a le plus grand DA / DL pour cet incrément unique.
J'ai travaillé sur un dessin de la géométrie pendant la nuit:
Le cercle inscrit est construit en bisectant chacun des angles et en trouvant les intersections des bisecteurs. J'ai étiqueté le demi-angle "A1" (et toutes les variables associées ont "1"). La zone de la partie non circulaire est deux trapèze (une note avec le contour rouge). Nous pouvons calculer la zone pour un seul trapèze comme L1 * (M1 + R) / 2 (note que lorsque L1, L2, L3 est tout zéro, ces trapèze sont tous nuls et nous obtenons simplement la zone de cercle inscrite). Le capuchon circulaire a un rayon de M1 pour rester tangente avec le côté du triangle. Pour un choix donné de L1, M1 = R (x1-l1) / x1.
De là, vous pouvez facilement calculer le périmètre et la surface de chacun des trois secteurs et résoudre numériquement.
Je ne peux pas
Je me demande de la durée de course, mais +1 pour l'idée :).
Mon représentant est trop bas pour ajouter un commentaire à la question, mais 2 cercles ne maximisez pas A / L. Considérons deux cercles - Dessinez maintenant des tangentes entre les deux cercles (vous avez donc une capsule - genre de chose). Gardez les tangentes mais supprimez les arcs pour les deux cercles et vous avez tous deux augmenté la zone et avons diminué le périmètre.
Je pense que vous êtes sur la bonne voie, mais vous finirez par pousser les trois côtés dans certains ratios. Développer le résultat sera cependant.
Si le périmètre de la corde est trop petit ou trop grand, les réponses sont triviales. Le cas intéressant est une forme avec 6 sommets qui dirigent la ligne-arc-line-arc-line-arc. Les arc sont tous tangents à leurs lignes voisines et leurs rayons sont égaux. Je n'ai pas de preuve rigoureuse, mais imaginez un ballon 2D rempli d'air et pressé entre les côtés du triangle.
Il est facile d'exprimer la forme générale et donc le périmètre donné le rayon; La direction opposée (périmètre au rayon) est alors facilement trouvée numériquement.
Je pense que c'est ça .. Je ne suis pas sûr que les rayons doivent être identiques. Si vous spécifiez des arcs tangents avec 3 radii (@ chaque coin) qui déterminera de manière unique la longueur et la zone. Après un tas de trigle, c'est un problème d'optimisation simple en seulement 3 inconnus.
Après avoir lu les réponses à cette question: https://math.stackexchange.com / Questions / 4808 / Pourquoi-Circle-entoure-la plus grande zone , je suis d'accord avec NM et pense que la courbe optimale vérifie:
Avec ces conditions, la solution est obtenue par trois cercles de même rayon R, chaque tangente à deux côtés du triangle (voir ci-dessous). Lorsque R varie entre 0 et le rayon du cercle inscrit, nous commençons par le triangle lui-même et se termine au cercle inscrit, où tous les trois cercles coïncident. La longueur de la courbe est le périmètre du cercle de rayon R + le périmètre (P) du triangle plus petit: L = 2 * Pi r + p. La zone est la zone (a) du triangle plus petit + un disque de rayon R + les rectangles restants: a = pi r ^ 2 + p * r + a.
Comment savons-nous que les rayons sont égaux? Il semble juste et est probablement, mais comment le prouvez-vous?
.. Répondre à mon propre commentaire / question, il peut être prouvé que les rayons doivent être égaux,
Voici une formule utile: p>
p>
La zone grise A est p> mais encore plus utile ..La longueur d'arc est simplement: p> rinscribed = Sqrt( ((S-a)(S-b)(S-c)) / S )
Je vais essayer d'obtenir des cas de test bientôt. Je dois essayer avant que je puisse accepter la réponse.
J'ai écrit une solution python implémentant ma réponse ci-dessous et fait converger le même rayon sur tous les coins, mais je manque quelque chose à propos de votre réponse ici. Je vais devoir y aller et voir si je peux comprendre ce qui me manque.
Désolé, je ne peux pas vous suivre (corrigez-moi s'il vous plaît si je me trompe): la zone de l'angle 4 dans votre dessin est deux fois supérieure à la zone du triangle rectangulaire avec les côtés B, R et le bisteur d'alpha, c'est-à-dire un + S = 2 * 1/2 * B r; donc a + s = b r. Bonge supplémentaire (Alpha / 2) = R / B. Donc, b = r / tan (alpha / 2). Plus S = R ^ 2 * (Pi-Alpha). Ainsi a = r ^ 2 * (alpha-pi + 1 / tan (Alpha / 2)) et non A = R ^ 2 (Alpha-Pi + 2 / Tan (Alpha / 2)) / 2, comme dans votre réponse .
Vous dites "après un peu de manipulation minimisant la zone mène à tous les r [i] égaux". Mais c'est à mon esprit la partie difficile! Comment avez-vous minimisé la zone et comment tous les r [i] sont égaux? C'était exactement la question ouverte et je ne peux pas voir comment vous avez répondu à cette question. Pourriez-vous s'il vous plaît expliquer?
Considérez Alpha = PI / 2, .. B = R .. A = R ^ 2 (1-PI / 4) .. S = PI R / 2. Je vais ajouter un peu au problème de la région maximum. (devrait dire que max pas min de toute façon)
Je dirais que vous avez réellement trois cas restants, où le cercle inscrit est borné / coupé par un, deux ou trois côtés du triangle (mais je reste moins que le périmètre du triangle).
Je suppose que vous ne pouvez pas couper la corde (pour faire un deuxième cercle)?
@Tontymorris Je pensais que si L est plus grand que le périmètre du cercle inscrit, nous pourrions alors prendre cette longueur, puis créer des cercles plus petits dans les lacunes restantes, mais je ne suis pas sûr que cela soit optimal.
@coredump, oui j'attendais cette réponse :), alors savais que je suis au même point: comment prouver qu'il est optimal (ou non) de prendre la corde restante et de créer des cercles plus petits, si c'est le problème du problème Plus facile.
Je suppose que les cordes infinisimalement minces sont-elles minces? Comme @ @marking disait, vous commencez essentiellement au cercle inscrit et "poussez" la corde vers l'extérieur jusqu'à la taille optimale. Je me trompe peut-être, mais je crois que vous essayez de l'obtenir les 3 arcs à un point où leur DA / DR serait la même chose, cela tiendrait techniquement vrai pour le L> A + B + C être vrai depuis que le changement de surface serait approche 0 alors que les arcs atteignent les coins.
@ SGM1 Oui c'est. Je pense que j'accepterai cette réponse. J'attends juste de voir si une meilleure variante existe.